ケーララ学派の無限級数

南インド、ケーララ。西ガーツ山脈と海の間の、細長い土地。14世紀から16世紀、ここで、数学の学派が続いた。

サンガマグラーマ（いまのイリンジャーラクダ）のマドハヴァ（1340年頃〜1425年頃）が始まりとされる。彼自身の著作は、ほとんど失われた。弟子と、弟子の弟子の書物に、「マドハヴァはこう言った」という形で引用されている。

見つけたもの。

正弦の級数。sin x ＝ x − x³/3! + x⁵/5! − x⁷/7! + … 余弦の級数。cos x ＝ 1 − x²/2! + x⁴/4! − … 逆正接の級数。arctan x ＝ x − x³/3 + x⁵/5 − … そして、そこに x＝1 を入れた、円周率の級数。π/4 ＝ 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + …

ヨーロッパでは、ニュートン（1669年）、グレゴリー（1671年）、ライプニッツ（1673年）が、別々に見つけた。マドハヴァは、その250〜270年前。

さらに。この級数は収束が遅い（πを小数2桁まで出すのに数百項要る）。マドハヴァは、途中で打ち切ったときの誤差を補正する項を作った。3つの異なる補正項を示していて、精度が上がっていく。それを使って、πを11桁まで求めた（3.14159265359）。彼の詩の形の記述では、数を音節に置き換える方式で書かれている。

級数を導く方法は、区間を細かく分けて足し合わせ、分割を無限に細かくする、というもの。積分の考えに近い。「n乗の和の公式」を、nが大きい場合について、極限を取って求めている。

学派。マドハヴァ → パラメーシュヴァラ（1360〜1455年頃。55年、日食と月食を観測し続けて、計算式を修正した）→ ダーモーダラ → ニーラカンタ・ソーマヤージ（1444〜1544年。『タントラ・サングラハ』。水星と金星が太陽の周りを回る、部分的な太陽中心のモデルを作った。ティコ・ブラーエのモデルに近い）→ ジェーシュタデーヴァ（『ユクティバーシャー』、1530年頃。マラヤーラム語（サンスクリットでなく、地元の言葉）で書かれ、しかも、結果だけでなく、証明（ユクティ＝論証）を丁寧に書いた。「世界で最初の微積分の教科書」と呼ぶ人がいる）→ アチュタ・ピシャーラティ。

なぜ広まらなかったか。写本はケーララの外に出なかった。サンスクリットとマラヤーラム語で、詩の形で、師から弟子へ伝えられた。天文計算（暦と占星術）の実用の枠の中にあり、「解析学」という独立した分野にはならなかった。

伝わったか。16世紀、ケーララにイエズス会の宣教師がいた（コーチンとゴア）。マテオ・リッチはインドで暦法について問い合わせている。ケーララの数学がヨーロッパに渡ったという直接の証拠は、まだ見つかっていない。可能性を主張する研究者（ジョージ・ジョーゼフ）と、否定する研究者がいる。

1832年、イギリス東インド会社のチャールズ・ウィッシュが、ケーララの写本を読んで、王立アジア協会に報告した。「ヒンドゥーには、流率法（微積分）に相当するものがあった」。誰も真面目に取り合わなかった。100年以上、忘れられた。1940年代から、インドの数学史家が読み直した。