関孝和と和算
概要
甲府藩、のち幕府の勘定方に仕えた武士が、中国伝来の数学を組み替えた。算木を並べる代わりに、紙の上で未知数を記号で表す「傍書法」を作り、多元の高次方程式を扱った。行列式に相当する考え方を、ヨーロッパのライプニッツとほぼ同時期に得ている。円周率を小数第11位まで、円の求積を無限級数で。門人が全国に広がり、神社に問題と解答の絵馬を奉納する「算額」の風習が生まれた。数学が庶民の趣味になった、珍しい例である。
場所
35.69°N 139.75°E · 日本・東京都（江戸城＝現在の皇居）
関わった人（1）
関孝和AD1642年頃（1637年説もある）–AD1708年12月5日 · 編み出した本文
江戸時代の日本で独自に育った数学を、和算と呼ぶ。その出発点には、中国から来た数学の書物と、そろばんの伝来があった。とりわけ大きかったのが、元の朱世傑が1299年に著した『算学啓蒙』で、朝鮮を経て日本に伝わり、和算家たちの教科書になった。
和算を広く世に広めたのは、1627年に京都の吉田光由が出した塵劫記である。掛け算の九九、田畑の面積や米俵の体積、両替や利息の計算といった実用の知識に、「ねずみ算」や「油分け算」のような面白い問題を交え、挿絵を添えた。この本は爆発的に売れ、版を重ね、まねた本が次々に出て、江戸時代を通じて読み継がれた。
『塵劫記』の版の一つには、答えを付けない問題が載せられた。読者への挑戦状で、「遺題」と呼ばれる。誰かがそれを解いて本にすると、その本の末尾にまた答えのない新しい問題を載せる。その問題を別の誰かが解き、また新しい問題を出す。この「遺題継承」が百年以上も続き、問題は代を追うごとに難しくなって、日本の数学の水準を押し上げていった。
関孝和は、この流れの中に現れた。生まれた年ははっきりせず、1640年代の初めごろとされる。内山家に生まれ、のちに関家の養子となった。甲府藩の藩主に仕えて、藩の財政や帳簿を扱う勘定方の役人を務めた。藩主の徳川綱豊が五代将軍綱吉の後継ぎに迎えられると（のちの六代将軍家宣）、関も幕府の直臣となった。師について学んだ記録はなく、ほとんど独学で数学を身につけたと考えられている。
1674年、関は『発微算法』を出した。数年前に出た別の和算家の本に載っていた十五の遺題を、すべて解いてみせた本である。生前に刊行された関の著書は、これ一冊だけだった。ただし、この本には答えと方針が簡潔に書かれているだけで、どうやって解いたのかの説明はほとんどない。そのため、ほかの和算家から本当に解けているのかと疑われもした。のちに弟子の建部賢弘が、詳しい解説の本を書いて師の解き方を示している。
関の仕事で最も重要なのは、方程式を書く方法を変えたことである。それまでの東アジアの代数は、「算木」と呼ばれる細い棒を盤の上に並べて行うものだった。中国伝来の「天元術」では、盤の上の棒の位置と本数で方程式の係数を表し、棒を動かして計算する。この方法で扱えるのは、未知数が一つの方程式に限られていた。
関は、この計算を紙の上の文字に移した。未知数や既知の量を漢字で表し、その脇に係数や関係を書き添える。こうして、いくつもの未知数を含む式を紙の上に書き並べ、文字のまま組み替えて、一つの方程式にまとめることができるようになった。この書き方は「傍書法」と呼ばれ、のちに弟子筋によって整えられて「点竄術」と呼ばれる体系になる。和算は、ここで中国の数学の枠から抜け出し、独自の道を歩き始めた。
関の業績の多くは、生前には刊行されず、写本で弟子に伝えられ、死後に整理されて世に出た。1683年の『解伏題之法』では、いくつもの方程式から未知数を消去していく手順の中で、係数を組み合わせて作る量を考えている。これは、いまの数学で行列式と呼ばれるものに相当する。ヨーロッパでは、ドイツのゴットフリート・ライプニッツが1693年の手紙で同じ考えに触れているが、関はそれより十年ほど早く、まったく独立にこの考えに達していた。
死後の1712年に刊行された『括要算法』には、自然数の累乗の和を求める公式が載っている。その係数として現れる数の列は、いまスイスの数学者の名を取ってベルヌーイ数と呼ばれているものである。ヤコブ・ベルヌーイがそれを示した本も、翌1713年に死後出版された。東西の二人が、ほぼ同じ時期に同じ数に行き着いていた。
円周率の計算でも、関は工夫を見せた。円に内接する正多角形の辺の数を二倍、四倍と増やしていき、十三万を超える辺を持つ多角形の周の長さを計算した。さらに、その値が近づいていく先を、数列の近づき方から見通して先取りする方法を使い、十桁を超える精度の円周率を得た。この先取りの考え方は、ヨーロッパで二十世紀になって名前の付く計算法に相当する。
関の流れをくむ人々は「関流」と呼ばれ、江戸時代を通じて最も大きな和算の流派になった。弟子の建部賢弘は八代将軍吉宗に仕え、円周率を四十桁以上まで求め、円弧の長さを無限に続く和で表す式を見つけている。和算家たちはやがて、円の面積や弧の長さ、球の体積を無限級数で表す「円理」という分野を発展させていった。
和算には、世界でもほかに例の少ない習慣があった。「算額」である。数学の問題と答え、ときには問題だけを、絵馬の形の木の板に書き、神社や寺に奉納する。板には、円や三角形が複雑に接し合う図形が、色を使って美しく描かれ、「この図で小さな円の直径を求めよ」といった問題が添えられた。奉納したのは武士だけではない。商人、農民、僧、女性、それに子どもの名もある。師匠が門人の名を連ねて奉納したものも多い。
なぜ神社に奉納したのか。難問が解けたことを神に感謝するため、自分の腕を人々に示すため、そして自分の流派を宣伝するため、と考えられている。参拝に来た人がその問題を見て解き、答えを別の算額にして奉納することもあった。算額は十七世紀の後半から明治にかけて全国で数多く奉納され、いまも九百ほどが残っている。数学が、町や村の庶民の楽しみとして広がっていたことを、算額は物語っている。
明治に入ると、事情は一変した。1872年の学制で、学校で教える数学は西洋の数学と定められた（学制の公布）。和算は学校で教えられなくなり、和算家たちの多くは西洋の数学に移るか、私塾で細々と教え続けた。
和算が積み上げた記号の工夫や、行列式、級数の成果の多くは、西洋の数学の中にもすでに同じものがあった。関たちはそれに独立にたどり着いていたが、その系譜は明治で途切れ、世界の数学の流れに合流することはなかった。残ったのは、神社に掛けられた算額と、『塵劫記』と、数学を楽しむ人が大勢いた国だったという記憶である。