関孝和と和算

**和算**。江戸時代の日本の数学。

出発点は、中国から来た『算学啓蒙』（朱世傑、1299年）と、そろばんの伝来、そして1627年の**吉田光由『塵劫記』**である。

『塵劫記』は、掛け算九九、面積、体積、両替、利息、そして「ねずみ算」「油分け算」などの面白い問題を集めた実用書で、爆発的に売れた。版を重ね、模倣本が出て、江戸期を通じて読まれ続けた。

この本の後半には、答えを載せない問題（**遺題**）が置かれていた。読者への挑戦である。

誰かがそれを解いて本にし、その本にまた新しい遺題を載せる。**遺題継承**。これが百年以上続き、日本の数学を押し上げた。

**関孝和**（1642?〜1708）。

生年ははっきりしない。上野国藤岡（群馬県）に生まれ、関家に養子に入ったとされる。甲府藩主・徳川綱重、次いで綱豊（後の6代将軍家宣）に仕え、勘定吟味役。綱豊が将軍後継になると、幕府の直参になった。

彼は、独学だった。師について学んだ記録がない。

**傍書法（点竄術）**。

それまでの東アジアの代数は、**算木**（細い棒）を盤の上に並べて行う「天元術」だった。棒の位置で係数を表す。これでは、未知数は一つしか扱えない。盤が二次元だからである。

関は、これを**紙の上の記号**に移した。

漢字（甲、乙、丙…）を未知数として、その左に係数を、縦棒で結んで書く。複数の未知数を持つ連立方程式が扱えるようになった。

これで、和算は中国の数学から離れて、独自の道を進み始める。

**業績**（多くは門人が整理し、死後に伝わった）。

- **行列式**。連立方程式から未知数を消去する過程で、係数の組み合わせから作る量（現在の行列式に相当）を導いた。1683年の『解伏題之法』。ライプニッツが同じ考えに達したのが1693年（発表は死後）。**関のほうが10年早い**。 - **ベルヌーイ数**。『括要算法』（1712年、死後出版）に、現在ベルヌーイ数と呼ばれる数列が現れる。ヤコブ・ベルヌーイの『推測法』も1713年の死後出版で、ほぼ同時期。 - **円周率**。正131072角形を使い、さらに数列の収束を加速する方法（現在のエイトケンの Δ² 法に相当）を用いて、小数第11位まで正しく求めた。 - **円理**。円弧の長さ、球の体積と表面積を、無限級数で求める方法。門人の建部賢弘が発展させた。 - **方程式の解法**、**終結式**、**暦の計算**（授時暦の研究）、**魔方陣**。

**弟子**。荒木村英、建部賢弘・賢明の兄弟。建部賢弘は8代将軍吉宗に仕え、『綴術算経』を著し、逆三角関数の級数展開に相当する結果を得た。

関流は、江戸期を通じて最大の流派になった。

**算額**。

和算の、最も特異な習慣。

数学の問題と答え（時に答えだけ、時に「解いてみよ」だけ）を、絵馬の形で木の板に書き、**神社や寺に奉納する**。

17世紀後半から明治まで、全国で数千枚が奉納された。現存約900枚。

奉納したのは、武士、商人、農民、僧、女性、そして子ども。師匠が門人の名を連ねて奉納するものも多い。

図は、色を使って美しく描かれる。多くは、円と三角形が複雑に接する図形の問題である。「この図で、この円の直径を求めよ」。

なぜ神社に。感謝の奉納であり、腕の誇示であり、そして流派の宣伝でもあった。

数学が、都市と農村の庶民の趣味として広がった。世界的にほとんど例がない。

**終わり**。

明治になり、1872年の学制で、学校の数学は西洋の数学（洋算）と定められた。和算は教えられなくなった。

和算家たちは、洋算に転じるか、私塾を細々と続けるかした。

和算が積み上げたもののうち、記号法と行列式と級数の成果は、西洋数学の中に既に同じものがあった。独立に到達していたが、その系譜は途切れた。

残ったのは、算額と、『塵劫記』と、そして——数学を楽しむ人が大勢いた、という記憶である。