確率論のはじまり

賭博は古代からある。骰子も、その確率が偏っていることも、経験的に知られていた。

しかし、「起こりうる場合を数え上げて、未来を数で測る」という考え方は、17世紀まで現れなかった。

なぜ遅れたのか。いくつか説明がある。骰子の材料（羊の距骨）が不揃いで、対称性の直感が育たなかった。未来は神の領分であり、計算の対象と考えられなかった。数の記法が未熟だった。

**きっかけ**。

**シュヴァリエ・ド・メレ**（本名アントワーヌ・ゴンボー）。文筆家であり、社交界の人であり、賭博をした。

彼が二つの問いをパスカルに出した。

**問1**。骰子を4回振って6が少なくとも1回出るほうに賭けるのは有利だと、経験上分かっている。では、2個の骰子を24回振って、両方6（ゾロ目の6）が少なくとも1回出るほうに賭けるのはどうか。

（古い経験則では、6分の1に対して4回、36分の1に対しては24回で同じはずだった。実際は、前者は約0.518で有利、後者は約0.491でわずかに不利。ド・メレは実際に負けて、「算術が矛盾している」と怒った、と伝えられる。）

**問2**——こちらが本題である。**分配の問題**（点の問題）。

二人が同額を賭け、先に3勝したほうが全額を取る、と決めた。ところが、2勝1敗のところで、勝負を中断しなければならなくなった。掛け金をどう分けるか。

この問題自体は古い。パチョーリ（1494年）は「2対1だから2:1に分ける」と答えた。カルダーノとタルタリアも考えたが、決着しなかった。

**1654年の往復書簡**。

パスカル（31歳）とフェルマー（47歳）が、7月から10月にかけて手紙を交わした。二人は会ったことがない。

彼らの答えは、こうである。

**過去の成績で分けるのではない。これから起こりうる場合を、すべて数え上げる**。

2勝1敗の状態。あと2回やれば決着する（先に3勝すればよいので、最大2回）。

その2回の結果は、4通り。AA、AB、BA、BB。

このうち、Aが勝つのは3通り（AA、AB、BA）。Bが勝つのは1通り（BB）。

だから、**3:1に分ける**。

（実際には残り1回で決着することもあるが、「決着後も形式的に振り続ける」と考えて場合を均等にする。ここが、当時の人には躓きやすい点だった。）

フェルマーは、場合を数え上げる方法（組み合わせ論）で解いた。パスカルは、末端から遡って期待値を計算する方法（後の再帰的な考え方）で解いた。

**期待値**。

パスカルはこの過程で、「賭けの現在の価値」という概念を明確にした。起こりうる結果に、その確率を掛けて足す。

これが、**期待値**である。

**算術三角形**。

1654年（出版は1665年）、パスカルは『数三角形論』を書いた。

いま「パスカルの三角形」と呼ばれる、二項係数の並び。（これ自体は、中国の楊輝〈13世紀〉、ペルシアのカラジー〈11世紀〉、インドのピンガラ〈前2世紀〉に先例がある。）

彼はこれを、分配問題の解法と結びつけ、そして**数学的帰納法**による証明を、明確な形で使った。

**その先**。

- **1657年**、ホイヘンス『骰子遊びにおける計算について』。この往復書簡の内容を聞いて書いた、確率論の最初の印刷された本。期待値を基礎に置いた。 - **1662年**、グラントの死亡表。 - **1713年**、ヤコブ・ベルヌーイ『推測法』（死後出版）。**大数の法則**——試行を繰り返せば、相対頻度は真の確率に近づく。これで、確率が賭博から出て、統計と自然の記述に使えるものになった。 - **1733年頃**、ド・モアブル。正規分布の萌芽。 - **1763年**、ベイズの定理（死後発表）。 - **1812年**、ラプラス『確率の解析的理論』。

そして、**保険**。1762年、ロンドンのエクイタブル生命保険会社が、生命表と確率に基づいて保険料を計算する、最初の近代的な生命保険を始めた。

年金、社会保険、金融、品質管理、疫学、量子力学、機械学習——不確実なものを数で扱うあらゆる分野が、この二人の手紙に遡る。

**パスカルの賭け**。

彼自身は、この考え方を、別の場所でも使った。

『パンセ』の断章。神が存在するかどうかは、理性では決められない。では、どう賭けるか。

神を信じて、神がいれば無限の幸福を得る。いなければ、失うものはわずかである。信じずに、神がいれば無限を失う。いなければ、得るものはわずかである。

期待値を計算すれば、信じるほうに賭けるべきだ——。

（この議論には多くの批判がある。無限を含む期待値の扱い、「信じる」ことを選択できるのかという問題、そして「どの神か」という問題。それでも、意思決定を期待値で論じた最初の例として、決定理論の教科書に載り続けている。）