ネイピアの対数

16世紀後半、天文学と航海術が、計算の壁に当たっていた。

ティコ・ブラーエの観測は精密になり、その位置を計算するには、6桁、7桁の数の掛け算と割り算を、何百回も行う必要があった。

一つの掛け算に、数分から十数分。ケプラーは火星の軌道の計算に、900ページ、4年を費やした。

**当時の逃げ道**。「プロスタファイレシス」——三角関数の公式（積和公式）を使って、掛け算を三角関数の表の引き算に変える技法。使えたが、面倒だった。

**ジョン・ネイピア**。スコットランド、エディンバラ近郊のマーチストン城の領主。

彼が当時知られていたのは、数学ではない。1593年の『ヨハネ黙示録の明白な発見』——教皇を反キリストと論じた神学の書。これは各国語に訳され、版を重ねた。彼自身は、これを生涯の仕事と考えていた。

対数は、彼にとって余技だった。20年を費やした余技である。

**着想**。

二つの数列を並べる。

等比数列：1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128… 等差数列：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…

上の段の 8 と 16 を掛けたい。下の段の対応する数、3 と 4 を足すと 7。上の段の 7 番目は 128。

8 × 16 = 128。

**掛け算が、足し算になった**。

問題は、この対応が飛び飛びなことである。上の段に無い数は掛けられない。

ネイピアは、この対応を**連続にした**。二つの点が、一方は一定の速さで、他方は残りの距離に比例した速さで動く、という運動を考えて、その位置の関係として定義した（微積分がまだ無いので、運動学の言葉で書くしかなかった）。

**1614年**、『**驚くべき対数の法則の記述**』（Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio）。ラテン語。57ページの解説と、90ページの表。

「ロガリズム」は彼の造語。ギリシア語の logos（比）＋ arithmos（数）。

**ブリッグズ**。ロンドンのグレシャム・カレッジの幾何学教授**ヘンリー・ブリッグズ**が、この本を読んだ。

彼は友人に手紙を書いた。「私はいま、ネイピアの新しい、驚くべき対数に、頭も手も奪われている。……もし神の思し召しがあれば、この夏、私はこの人に会うために、スコットランドへ行く」。

1615年、彼はエディンバラへ行った。二人は初対面で、ほぼ15分間、互いに何も言わずに見つめ合った、と伝えられる。

ブリッグズが提案した。基準を変えよう。log 1 = 0、log 10 = 1 とする（**常用対数**）。そうすれば、桁の移動が、そのまま整数部分の増減になり、表が小数部分だけで済む。

ネイピアは同意した。既に自分でも同じことを考えていた、と答えた。しかし、彼は病んでいた。

1617年、ネイピア死去。

ブリッグズが引き継ぎ、1617年に1〜1000の、1624年に **1〜2万と9万〜10万の、14桁の常用対数表**を作った。空いた部分は、オランダのエズラーヘが埋めた。

**効果**。

ラプラスが後に書いた。「対数は、労力を短縮することによって、**天文学者の寿命を二倍にした**。そして、長い計算につきものの誤りと嫌悪を免れさせた」。

ケプラーは、対数を使って『ルドルフ表』（1627年）を完成させた。彼はネイピアに感謝を捧げている。

**計算尺**。

1620年、エドマンド・ガンターが、対数の目盛りを刻んだ物差しを作った（ガンター尺）。距離を足すことで、掛け算ができる。

1622年、**ウィリアム・オートレッド**が、二本の対数尺を滑らせる形にした。**計算尺**の誕生。

以後350年、技術者の道具であり続けた。

- ブルネルの船と橋。 - エッフェル塔。 - ボーイングの飛行機。 - 原爆の設計（ロスアラモス。ファインマンは計算尺の名手だった）。 - **アポロ計画**。1969年、月へ向かう宇宙船の中で、乗組員はピッケット社のN600-ES計算尺を持っていた。

1972年、ヒューレット・パッカードが HP-35（対数と三角関数を計算できるポケット電卓）を発売した。395ドル。

数年で、計算尺は消えた。工場が閉鎖され、技術者が引き出しにしまい込んだ。350年続いた道具の終わりは、5年ほどだった。

対数そのものは、消えていない。指数関数的な現象を扱うあらゆる場所——音の大きさ（デシベル）、地震（マグニチュード）、酸性度（pH）、星の等級、情報量（ビット）、そして計算量の理論——に、いまも住んでいる。