ネイピアの対数

16世紀の後半、天文学と航海術は、計算の壁に突き当たっていた。デンマークのティコ・ブラーエの観測は、望遠鏡が無い時代としては驚くほど精密になった。だが、その観測から惑星の位置を計算するには、6桁、7桁の数の掛け算や割り算、三角関数の計算を、何百回、何千回と繰り返さなければならない。一つの掛け算に何分もかかり、どこかで一度間違えれば、そこから先がすべて狂う。ティコの観測を受け継いだヨハネス・ケプラーは、火星の軌道を突き止めるのに何年もの計算を費やした。

当時の天文学者たちは、三角関数の公式を使って、掛け算を表引きと足し引きに置き換える技を使っていた。プロスタファイレシスと呼ばれる方法で、計算は楽になったが、手順は面倒だった。もっと素直に、掛け算を足し算に変える方法は無いか。それを考えたのが、スコットランドの領主ジョン・ネイピアである。

ジョン・ネイピアは1550年、エディンバラ近郊のマーチストン城の領主の家に生まれた。セント・アンドルーズ大学で学び、大陸にも遊学したとされる。彼が生前に名を知られたのは、数学ではなく神学だった。1593年に出した『ヨハネ黙示録の明白な発見』は、ローマ教皇を反キリストと論じる熱烈なプロテスタントの書で、各国語に訳されて版を重ねた。領地の農業の改良や、スペインの侵攻に備える新兵器の構想にも打ち込んでいる。対数は、そうした仕事のかたわら、20年ほどをかけて仕上げたものだった。

考え方の芯は、二つの数の並びを見比べることにある。上の段に、1、2、4、8、16、32、64、128と、2倍ずつ増える数を並べる。下の段に、0、1、2、3、4、5、6、7と、1ずつ増える数を並べる。上の段の8と16を掛けたいとき、その下にある3と4を足すと7になる。7の上にある数は128で、確かに8掛ける16は128である。掛け算が、足し算になった。割り算は引き算に、平方根を取ることは2で割ることになる。

問題は、この対応が飛び飛びなことだった。上の段に無い数は扱えない。ネイピアは、この対応をすき間なくつなげた。二つの点が同時に動き出し、一方は一定の速さで、もう一方は残りの距離に比例して遅くなる速さで動く、という運動を考え、二つの点の位置の関係として対数を定めたのである。微分や積分がまだ無い時代で、運動の言葉で書くしかなかった。こうして、どんな数にも対応する値を、細かく計算して表にすることができた。

1614年、ネイピアはラテン語で『驚くべき対数の法則の記述』を出した。説明の部分と、およそ90ページの表から成る。「対数（ロガリズム）」という言葉も彼の造語で、ギリシア語の「比」と「数」を組み合わせたものとされる。彼の対数は、いまの教科書に出てくる対数とは基準が違い、三角関数の計算に使いやすいように作られていた。

この本に夢中になったのが、ロンドンのグレシャム・カレッジの幾何学の教授ヘンリー・ブリッグズだった。彼は友人への手紙に、ネイピアの新しく驚くべき対数に頭も手も奪われている、この夏には神の思し召しがあればこの人に会いに行きたい、と書いた。1615年、ブリッグズははるばるエディンバラを訪ねた。二人は顔を合わせるなり、15分ほど互いに感嘆して言葉も無く見つめ合った、という逸話が伝わっている。

ブリッグズは、基準を変えることを提案した。1の対数を0、10の対数を1とする。そうすれば、数の桁が一つ上がるたびに対数がちょうど1増え、表には小数の部分だけを載せればよい。いまの常用対数である。ネイピアは、自分も同じことを考えていたと答えて賛成したが、すでに体が弱っていた。1617年、ネイピアは死んだ。同じ年、彼は掛け算を助ける目盛り付きの棒（ネイピアの骨）の本も出している。

ブリッグズが仕事を引き継いだ。1617年に1から1000までの、1624年には1から2万までと9万から10万までの数について、14桁の常用対数の表を出した。残りの部分は、オランダのアドリアーン・ヴラックが埋めて1628年に出版した。スイスの時計職人ヨースト・ビュルギも、ネイピアとは別に対数の表を作っていたが、公にしたのは1620年で、広まったのはネイピアとブリッグズの対数だった。

効き目は大きかった。ケプラーは対数をいち早く取り入れ、1627年に惑星の位置を求める『ルドルフ表』を完成させた。彼はネイピアへの敬意を書き記している。のちにフランスの数学者ラプラスは、対数は労力を縮めることで天文学者の寿命を2倍にした、と評した。航海士は対数の表で船の位置を計算し、測量士は土地を測り、銀行家は利息を計算した。

対数は、道具にもなった。1620年ごろ、イギリスのエドマンド・ガンターが対数の目盛りを刻んだ物差しを作り、まもなくウィリアム・オートレッドが二本の目盛りを滑らせて掛け算をする道具を考えた。計算尺である。長さを足せば、掛け算になる。計算尺はそれから350年近く、技術者のポケットに入っていた。アポロ11号の月面着陸の宇宙飛行士たちも、計算尺を携えていた。1970年代に関数の計算ができる電卓が出回ると、計算尺は数年のうちに姿を消した。

対数の表も計算尺も、いまは使われない。だが対数そのものは消えていない。音の大きさを表すデシベル、地震の規模を表すマグニチュード、酸性やアルカリ性を表すペーハー、星の明るさの等級、情報の量の単位。何倍にも広がる量を扱うところには、いまも対数が住んでいる。掛け算を足し算に変えるという400年前の思いつきは、目に見えないところで働き続けている。